求证：n^3+5n能被6整除（n为正整数）

Question

求证：n^3+5n能被6整除（n为正整数）

Answer 1

n^3+5n=n·（n^2+5）
（1）先证明n^3+5n能被2整除：
若n为偶数,则显然n^3+5n=n·（n^2+5）能被2整除；
若n为奇数,则n^2也是奇数,
所以n^2+5为偶数,
故n^3+5n=n·（n^2+5）也能被2整除.
从而,n^3+5n=n·（n^2+5）总能被2整除.
（2）再证明n^3+5n能被3整除：
若n能被3整除,则显然n^3+5n=n·（n^2+5）能被3整除；
若n不能被3整除,则n=3k±1,
n^2+5=（9k^2±6k+1）+5
=9k^2±6k+6
=3·（3k^2±2k+2）
故n^3+5n=n·（n^2+5）也能被3整除.
从而,n^3+5n=n·（n^2+5）总能被3整除.
（3）由于2和3互质,2×3=6
故n^3+5n能被6整除.
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