已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Question

已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1） ² +（y+1） ² =12．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Answer 1

（1）由

y=kx+1

(x-1 ) 2 +( y+1) 2 =12

，消去y得到（k ² +1）x ² -（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k） ² +28k ² +28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=

1+ k 2

|x ₁ -x ₂ |=2

(8-4k+11 k2)/(1+ k2)

=2

11-(4k+3)/(1+ k2)

，
令t= (4k+3)/(1+ k2) ，则有tk ² -4k+（t-3）=0，
当t=0时，k=- (3)/(4) ；
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t= (4k+3)/(1+ k2) 的最大值为4，此时|AB|最小值为2

7

，
则直线l被圆C截得的最短弦长为2

7

．