向量证明三角形三条中线交于一点,1.证明三角形三条中线交于一点（以下字母全都表示向量）令AC=a,BC=b为基底有AB=a-b,AD=a-(b/2),BE=(-a/2)+b再令AD与BE相交于G1,并假定AG1=λAD,BG1=μBE,则有AG1=λa-λb/2,BG

Question

向量证明三角形三条中线交于一点,
1.证明三角形三条中线交于一点（以下字母全都表示向量）
令AC=a,BC=b为基底
有AB=a-b,AD=a-(b/2),BE=(-a/2)+b
再令AD与BE相交于G1,并假定AG1=λAD,BG1=μBE,
则有AG1=λa-λb/2,BG=(-μa/2)+μb
由于AG1=AB+BG1=(1-(μ/2))a=(μ-1)b
所以可以列方程解得λ=μ=2/3,所以AG1=2/3AD
再令AD与CF相交于点G2,同样的方法可以证得AG2=2/3AD
（这里要怎么证,得重新设基底吗,我用旧的基底解不出来,还是我计算哪错了,把最后“同理可得”概括的步骤写一下吧谢谢）

Answer 1

你已经怎明了,AD,BE的交点G1,把AD分成2∶1.从而AD.CF的交点G2也把AD
分成2∶1.[可以不必再证.下面*是证明],∴G1,G2重合.三个中线交于一点.
* AG2＝sAD＝s（a-b/2）＝sa+（-s/2）b.
AG2＝AC+tCE＝a+t[（a-b）/2-a]＝（1-t/2）a+（-t/2）b
s＝1-t/2,-s/2＝-t/2,s＝t＝2/3.
AG2＝（2/3）AD,AD被G2分成2∶1