设A是n*n阶矩阵,α是列向量,且存在正整数k,使得A^(k-1)α≠0,A^k=0,证明：α,Aα,...,A^(k-1)α线性无关.急用,

Question

设A是n*n阶矩阵,α是列向量,且存在正整数k,使得A^(k-1)α≠0,A^k=0,
证明：α,Aα,...,A^(k-1)α线性无关.急用,

Answer 1

证:设 m0α+m1Aα+m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (*)
等式两边左乘A^(k-1),由A^kα=0得
m0A^(k-1)α = 0
而 A^(k-1)α≠0,所以 m0=0.
代入(*)式得 m1Aα+m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (**)
同理,等式两边左乘A^(k-2),由A^kα=0得
m1A^(k-1)α = 0
而 A^(k-1)α≠0,所以 m1=0.
代入(**)式得 m2A^2α+…+m(k-1)A^(k-1)α=0 (***)
如此类推,得 m0=m1=...=m(k-1)=0.
所以向量组α,Aα,A^2α,...,A^(k-1)α线性无关.