已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)an2，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=lnan，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=((n+1)an)/(2)，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_n，是否存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝((n+1)an)/(2)−(nan−1)/(2)，（2分）
即(an)/(n)＝(an−1)/(n−1)（n≥2）．（4分）
所以数列{(an)/(n)}是首项为(a1)/(1)＝1的常数列．（5分）
所以(an)/(n)＝1，即a_n=n（n∈N^*）．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*）．（7分）
（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列，
则b_kb_k+2=b_k+1²．（8分）
因为b_n=lna_n=lnn（n≥2），
所以bkbk+2＝lnk•ln(k+2)＜[(lnk+ln(k+2))/(2)]2＝[(ln(k2+2k))/(2)]2
＜[(ln(k+1)2)/(2)]2＝[ln(k+1)]2＝

b

2 k+1

．（13分）
这与b_kb_k+2=b_k+1²矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．（14分）