lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3 第一步可以分开求1.sin6x/x^3 和 2.xf(x)/x^3 的和吗并且极限在什么情况下可以分开求，什么情况下不能，最好可以举例说明，

Question

lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3 第一步可以分开求1.sin6x/x^3 和 2.xf(x)/x^3 的和吗
并且极限在什么情况下可以分开求，什么情况下不能，最好可以举例说明，

Answer 1

关于和的极限运算如下
如果lim f(x)=A,lim g(x)=B,则lim [f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A±B
此时要求的是极限过程要一样,其次要求两个极限均要存在,这样才可以分开求
如果其中一个极限存在,一个极限不存在,那么lim [f(x)±g(x)]不存在,只需利用反证法即可.
如果两个极限都不存在,那么结论是未必的,
例如当x->0时,lim [1/x-1/x]=0,
lim[1/x+1/x]=∞
lim[(1/x+1)-1/x]=1,而其中lim 1/x=∞,lim (1/x+1)=∞
或者用sin(1/x)的例子也可以说明问题,因为lim sin(1/x)不存在,极限过程为x->0
从而这道题目中,lim sin6x/x^3=∞ ,而lim xf(x)/x^3极限不明确,所以这道题不能分开求解.