k为何整数时,方程(k²-1)x²-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数跟?

Question

k为何整数时,方程(k²-1)x²-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数跟?

Answer 1

[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0
二次项系数不等于0 得 k不等于1,-1；
Δ=36(3k-1)^2-4*72*(k^2-1)=36(k-3)^2>=0
解得根为x1=12/(k+1),x2=6/(k-1)
所以 k+1=1,2,3,4,6,12,即k=0,1,2,3,5,11；
k-1=1,2,3,6,即 k=2,3,4,7；
取公共部分得 k=2,3；
验证 当k=2时, 原方程为 3x^2-30x+72= 0 根为 x1=4,x2=6 满足题意.
k=3时,方程是8x^2-48x+72=0,x1=x2=3,不符合题意.舍.
综上所述,k=2