在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；...在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面

Question

在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；...
在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；（麻烦写具体步骤谢了）

Answer 1

分析：（1）证明PA⊥平面PBC,只需证明PA⊥BC,PA⊥PB,利用平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且BC⊥AB,可得BC⊥平面PAB,结论可证；
（2）作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM,可证∠PMO是二面角P-AC-B的平面角,从而可求二面角P-AC--B的一个三角函数值．
（1）证明：
∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,
∵PA⊂平面PAB,
∴PA⊥BC；
又∵PA⊥PB,PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC
作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM,
∵平面PAB⊥平面ABC,
∴PO⊥平面ABC,由三垂线定理得PM⊥AC,
∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设PA=PB=根号6,
∵PA⊥PB,
∴AB=2根号3PO=BO=AO=根号3
∵OM⊥AM,∠MAO=30°,
∴OM=AOsin30°=AO/2
∴tan∠PMO=PO/OM=AO/OM=2