如图,在三角形ABC中∠B=2∠A,AB=2BC,求证：∠A=30度

Question

如图,在三角形ABC中∠B=2∠A,AB=2BC,求证：∠A=30度

Answer 1

延长AB至D,使BD=BC,连接CD.
则∠BCD=∠BDC,又∠BCD+∠BDC=∠ABC,
∴∠ABC=2∠BDC
∵∠B=2∠A,∴∠A=∠BDC,∴CA=CD
不妨设BC=k,则AB=2k,BD=k,由余弦定理得,
CA^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC
=4k^2+k^2-4k^2*cos∠ABC,
CD^2=BC^2+BD^2-2BC*BD*cos∠CBD
=k^2+k^2-2k^2*cos∠CBD
=2k^2+2k^2*cos∠ABC
4k^2+k^2-4k^2*cos∠ABC=2k^2+2k^2*cos∠ABC
得cos∠ABC=1/2
∴∠ABC=60°,
∴∠A=30°