如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证：1、AE=BF,AE⊥BF；2、AD=GD

Question

如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证：
1、AE=BF,AE⊥BF；
2、AD=GD

Answer 1

1、证明：在RT△ABE和RT△BCF中
因为：AB=BC,BE=CF
所以：这两个直角三角形全等
所以：AE=BF,  ∠BEG=∠BFC
在△BEG和△BFC中：∠BEG=∠BFC,公共角∠EBG=∠FBC
所以；这两个三角形相似,有∠BGE=∠BCF=90°
即：AE⊥BF
2、由∠AGF=∠ADF=90°得知A, G, F, D四点共元,
所以：∠DAG=∠BFC,∠AGD=∠AFD
而：由△ADF≌△BCF得知∠AFD=∠BFC
所以：∠AGD=∠BFC=∠DAG
即：△ADG是等腰三角形
所以：AD=DG