（2006•凉山州）如图所示,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,AB=4,BC=6,AD=8,点P、Q同时从A点出发,分别做匀速运动,其中点P沿AB、BC向终点C运动,速度为每秒2个单位,点Q沿AD向终点D运动,速度为每秒1个

Question

（2006•凉山州）如图所示,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,AB=4,BC=6,AD=8,点P、Q同时从A点出发,分别做匀速运动,其中点P沿AB、BC向终点C运动,速度为每秒2个单位,点Q沿AD向终点D运动,速度为每秒1个单位,当这两点中有一个点到达自己的终点时,另一个点也停止运动,设这两个点从出发运动了t秒．
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切?若有可能,求出t的值或t的取值范围；若不可能,请说明理由．
我就要第三问

Answer 1

过B点做AD的垂线交AD于E.
梯形高为：BE=√(AB^2-(DA-BC)^2)=2√3
运动时间t的最大值为：
(AB+BC)/2=(4+6)/2=5秒
符合题意的圆,P点不可能在AB上,因为如果P在AB上,Q必定在AE上(Q的速度是P的一半),那么,PQ≦AB(直角三角形内的所有线段以斜边最大),即圆的直径≦4,
这时如果圆与DC相切,圆的半径≧BC,即圆的半径≧6,矛盾!所以符合题意的圆,P点在BC上,即t≧AB/2,即t≧2.
CP=AB+BC-2t=10-2t
DQ=AD-t=8-t
所以圆直径=PQ=√(BE^2+(DQ-CP)^2)
=√(12+(t-2)^2)
显然,梯形CPQD的中位线是圆心的半径,即：
圆半径=(CP+DQ)/2=(18-3t)/2
所以：√(12+(t-2)^2)=18-3t
整理得：2t^2-26t+77=0
解得：t1=(13-√15)/2,t2=(13+√15)/2
t2＞5,不合题意,舍弃.
因此,当t=(13-√15)/2秒时,以PQ为直径的圆与CD相切.