高数微积分微分方程y’’+（y’）^2=2e^（-y） 求通解.

Question

高数微积分微分方程
y’’+（y’）^2=2e^（-y） 求通解.

Answer 1

通解是e^y + C1=(x+C2)^2
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以y为自变量,令y'=p,则y''=p*dp/dy,方程化为p*dp/dy+p^2=2e^(-y).方程是伯努利方程,再换元z=p^2,方程进一步化为1/2*dz/dy+z=2e^(-y),dz/dy+2z=4e^(-y),是一阶线性方程,套用通解公式,得z=e^(-2y)(4e^y+C1),所以p^2=e^(-2y)(4e^y+C1),y'=p=±e^(-y)*√(4e^y+C1).
分离变量,±e^ydy/√(4e^y+C1)=dx,两边积分,±1/2*√(4e^y+C1)=x+C2,所以1/4(4e^y+C1)=(x+C2)^2是通解.
换C1为4C1,则通解还可以写作e^y+C1=(x+C2)^2.