一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（23-2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小

Question

一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2√(3)-2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．

（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？

Answer 1

由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=2√(3)-2，BC=4，
根据余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=（2√(3)-2）²+4²+（2√(3)-2）×4=24，
所以AC=2√(6)．
根据正弦定理得，sin∠BAC=(4×(√(3))/(2))/(2√(6))=(√(2))/(2)，∴∠CAB=45°．