椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)过点A(1，32)，离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△F2AB的面积为1227时，求直线的方程．

Question

椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)过点A(1，(3)/(2))，离心率为(1)/(2)，左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△F₂AB的面积为(12√(2))/(7)时，求直线的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)过点A(1，(3)/(2))，
∴(1)/(a2)+(9)/(4b2)＝1①，
又∵离心率为(1)/(2)，
∴(c)/(a)＝(1)/(2)，∴(b2)/(a2)＝(3)/(4)②，
联立①②得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1
（2）①当直线的倾斜角为(π)/(2)时，A(−1，(3)/(2))，B(−1，−(3)/(2))，
S△ABF2=(1)/(2)|AB|×|F1F2|=(1)/(2)×3×2≠(12√(2))/(7)，不适合题意．
②当直线的倾斜角不为(π)/(2)时，设直线方程l：y=k（x+1），
代入(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝(−8k2)/(4k2+3)，x1x2＝(4k2−12)/(4k2+3)，
∴|AB|=√((1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2])=√((1+k2)[(64k4)/((4k2+3)2)−(4(4k2−12))/(4k2+3)])=(12(1+k2))/(4k2+3)．
点F₂到直线l的距离d=(|k+k|)/(√(1+k2))，
∴S△ABF2=(1)/(2)|AB|•d=(12|k|√(1+k2))/(4k2+3)=(12√(2))/(7)，
化为17k⁴+k²-18=0，解得k²=1，∴k=±1，
∴直线方程为：x-y+1=0或x+y+1=0．