已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=loga（x+1），（a>0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若-1<f（1）<1，求实数a的取值范围．

Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log_a（x+1），（a>0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若-1<f（1）<1，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设任意的x<0，则-x>0，…（1分）
由题，f（-x）=log_a（-x+1）
又∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）…（3分）
∴当x<0，f（x）=log_a（-x+1）…（5分）
∴函数f（x）的解析式为f(x)=

loga(x+1)，x≥0

loga(-x+1)，x<0

…（6分）
（2）∵-1<f（1）<1，∴-1<log_a2<1，
∴loga(1)/(a)<loga2<logaa…（7分）
①当a>1时，原不等式等价于

(1)/(a)<2

a>2

解得a>2…（9分）
②当0<a<1时，原不等式等价于

(1)/(a)>2

a<2

解得 0<a<(1)/(2)…（11分）
综上，实数a的取值范围为{a|0<a<(1)/(2)或a>2}…（12分）