已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=x−2x+1，若对任意实数t∈[12，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-3）∪（0，+∞）B．（-1，0）

Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=(x−2)/(x+1)，若对任意实数t∈[(1)/(2)，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，-3）∪（0，+∞）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（-∞，1）∪（2，+∞）

Answer 1

∵当x＞0时，f（x）=(x−2)/(x+1)=1-(3)/(x+1)，∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∵对任意实数t∈[(1)/(2)，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴|t+a|＞|t-1|，
∴（2a+2）t+a²-1＞0，
∴

(1)/(2)(2a+2)+a2−1＞0

2(2a+2)+a2−1＞0

，
解得a＞0或a＜-3
则实数a的取值范围是a＞0或a＜-3．
故选：A．