计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧.运用高斯公式可得3∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV,若把后面条件带入可得3∫∫∫dv=4π,而运用球面坐标系可算的结果12π/5,答案是后

Question

计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧.
运用高斯公式可得3∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV,若把后面条件带入可得3∫∫∫dv=4π,
而运用球面坐标系可算的结果12π/5,答案是后者,为什么上面的做法不对?要考试了!呜呜.

Answer 1

因为用完高斯公式后是三重积分,三重积分的积分区域中x²+y²+z²≤1,并不等于1.因此不能用1来代替x²+y²+z².
有个很简单的方法记住这个结论：只需记住二重积分和三重积分不可以用区域来化简被积函数,只有曲线积分和曲面积分可以.