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点P是曲线x^2-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为多少
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点P是曲线x^2-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为多少
▼优质解答
答案和解析
设P(a,a²-lna)
定义域x>0则a>0
直线x-y-2=0
距离=|a-a²+lna-2|/√(1²+1²)
即求分子最小值
|a-a²+lna-2|
=|a²-a-lna+2|
f(a)=a²-a-lna+2
f'(a)=2a-1-1/a=(2a²-a-1)/a
a>0
2a²-a-1=(2a+1)(a-1)
2a+1>0
所以00,增函数
所以a=1是极小值点,也是最小值点
f(1)=1-1-0+2=2
所以最短距离=2/√2=√2
定义域x>0则a>0
直线x-y-2=0
距离=|a-a²+lna-2|/√(1²+1²)
即求分子最小值
|a-a²+lna-2|
=|a²-a-lna+2|
f(a)=a²-a-lna+2
f'(a)=2a-1-1/a=(2a²-a-1)/a
a>0
2a²-a-1=(2a+1)(a-1)
2a+1>0
所以00,增函数
所以a=1是极小值点,也是最小值点
f(1)=1-1-0+2=2
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