已知曲线C:y^2=2x.(1)求曲线C上距离点A(2/3,0)最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设B(a,0),a∈R,求曲线C上的点M到点B距离最小值d.

Question

已知曲线C:y^2=2x.
(1)求曲线C上距离点A(2/3,0)最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设B(a,0),a∈R,求曲线C上的点M到点B距离最小值d.

Answer 1

请问点M是指曲线上一个随意的动点吗?
如果是,则题中(1)的解是(2)的解的特例,先解(2)
(2)曲线C是一个以原点为顶点,(1,0)为焦点的开口向右的抛物线.
若a<0,很明显B到C最小值d=-a
若a=0,则B和M重合在原点,d=0
若a>0,则设点M为(t^2/2,t),t∈R,
则|BM|^2=d^2
=(t^2/2-a)^2+t^2
=5t^2/4-at^2+a^2
=5/4(t^2-2a/5)^2+4a^2/5 >= 4a^2/5
即d的最小值为2a/√5
(1)把a=2/3代入上一步,得|PA|=4/3√5
并解得P为(2/15,±2/√15)