设曲线L上任一点P（x,y）处的法线与x轴的交点为Q,线段PQ恰被y轴平分,且L过点P0（2,2）.试求曲线L的方程.

Question

设曲线L上任一点P（x,y）处的法线与x轴的交点为Q,线段PQ恰被y轴平分,且L过点P0（2,2）.试求曲线L的方程.

Answer 1

设Q(t,0),则PQ的中点为（(x+t)/2,y/2）
该点在y轴上,则：x+t=0,得：t=-x
即Q(-x,0)
K(PQ)=y/2x
则点P处的切线斜率k=-2x/y
即：f'(x)=-2x/f(x)
f'(x)f(x)=-2x
2f(x)f'(x)=-4x
两边积分得：f²(x)=-2x²+C
把f(2)=2代入得：4=-8+C
得：C=12
所以：f²(x)=12-2x²
即：y²=12-2x²
整理得：y²/12+x²/6=1