二元一次不等式证明怎样用向量的办法证明直线l:Ax+By+C=0将坐标平面内不在l上的点分为两部分,直线l的法向量(A,B)方向指向的那一侧半平面,所有点的坐标都满足不等式Ax+By+C大于0,而在直线l的

Question

二元一次不等式证明
怎样用向量的办法证明直线l:Ax+By+C=0将坐标平面内不在l上的点分为两部分,直线l的法向量(A,B)方向指向的那一侧半平面,所有点的坐标都满足不等式Ax+By+C大于0,而在直线l的另一侧,所有点的坐标都满足不等式Ax+By+C小于0

Answer 1

证明：设点P(x0,y0)是直线L：Ax+By+C=0上一点,那么就有Ax0+By0+C=0.Q(x1,y1)是L的法向量n=(A,B)方向所指的那一侧半平面内任一点.则向量PQ与n夹角为锐角或0.那么PQ与n的内积(数量积）等于这两向量的模（大小或说是长度）之积乘以它们夹角的余弦,因此内积为正.另一方面,PQ与n的内积=[(x1,y1)-(x0,y0)].(A,B)=A(x1-x0)+B(y1-y0) =Ax1+By1-(Ax0+By0)=Ax1+By1-(-C)=Ax1+By1+C 因此,总有：Ax1+By1+C>0.同理可证：直线l的另一侧,所有点的坐标都满足不等式Ax+By+C小于0,只要注意直线上任一点指向另一侧任一点的向量与L的方向向量成钝角或平角,该角余弦为负,得到这两向量内积为负,就可得到所要的结论了.