已知f1,f2为椭圆的两个焦点,过f2的直线交椭圆于p,q两点,且pf1垂直pq,(pf1)=(pq),求椭圆的离心率.

Question

已知f1,f2为椭圆的两个焦点,过f2的直线交椭圆于p,q两点,且pf1垂直pq,(pf1)=(pq),求椭圆的离心率.

Answer 1

设|PF1|=m,|PF2|=n,
长半轴a,短半轴b,半焦距c,
∵|PF1|=|PF2|,
且PF1⊥PQ,
∴△PD1Q是等腰RT△,
|F1Q}=√2|PF1|=√2m,
根据椭圆定义,
m+n=2a,(1)
|F1Q|+|F2Q|=2a,
√2m+(m-n)=2a,(2)
联立（1）和（2）,
m=(4-2√2）a,
n=(2√2-2）a,
在RT△PF1F2中,根据勾股定理,
PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
(4a-2√2a)^2+(2√2a-2a)^2=4c^2,
(c/a)^2=9-6√2,
e=√[6-2√18+3]=√（√6-√3）^2
=√6-√3,
∴椭圆离心率e=（√6-√3）.