已知椭圆x²/4+y²/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.(1)这组直线何时椭圆相交（2）当他们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.求老师们解答,

Question

已知椭圆x²/4+ y²/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.(1)这组直线何时椭圆相交（2）当他
们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.求老师们解答,

Answer 1

椭圆方程：x²/4+y²/9=1
设这组直线的方程为y=3/2x+b代入方程
9x²+4(3/2x+b)²=36
9x²+9x²+12bx+4b²-36=0
9x²+6bx+2b²-18=0
判别式=36b²-36(2b²-18)≥0
b²-2b+18≥0
b²≤18
-3√2≤b≤3√2
(2)设直线交椭圆于（x1,y1）（x2,y2）
且(y2-y1)/(x1-x2)=3/2
x1²/4+y1²/9=1(1)
x2²/4+y2²/9=1(2)
(1)-(2)
(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
设中点为M（x,y）
则
2x/4+2y/9*(y1-y2)/(x1-x2)=0
1/2x+2y/9*3/2=0
1/2x+1/3y=0
3x+2y=0
证毕.