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如图,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上任意一点,则BD²+CD²=2AD²,请说明理由.
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如图,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上任意一点,则BD²+CD²=2AD²,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
过D分别作垂线交AC,AB于F,E.
△DFC和△BED皆为等腰直角△,
则有：
(CD^2)=2(DF^2) ①
(BD^2)=2(DE^2) ②
则 ①+② 得 (CD^2)+(BD^2)=2[(DF^2)+(DE^2)]
化简,得 (CD^2)+(BD^2)=2(EF^2) ③
又AFDE是矩形,有：EF=AD (矩形对角线相等) ④
由③④得 (CD^2)+(BD^2)=2(AD^2)
△DFC和△BED皆为等腰直角△,
则有：
(CD^2)=2(DF^2) ①
(BD^2)=2(DE^2) ②
则 ①+② 得 (CD^2)+(BD^2)=2[(DF^2)+(DE^2)]
化简,得 (CD^2)+(BD^2)=2(EF^2) ③
又AFDE是矩形,有：EF=AD (矩形对角线相等) ④
由③④得 (CD^2)+(BD^2)=2(AD^2)
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