椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.设直线l与椭圆C交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值.

Question

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
设直线l与椭圆C交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值.

Answer 1

由于椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1
则:椭圆的焦点在X轴上
由于:短轴一个端点到右焦点的距离为√3
则由图像可知:
b^2+c^2=3=a^2
则：a=√3
又：离心率为√6/3=c/a
则：c=√2,则：b=1
则椭圆C：x^2/3+y^2=1
设直线l：y=kx+b
由于：坐标原点O到直线l的距离d为√3/2
则由点到直线距离公式,得：
d=√3/2=|b|/√[k^2+1]
则：b^2=(3/4)(k^2+1)
由于：直线l与椭圆C交与A,B两点
则设A(x1,y1)B(x2,y2)
则由直线和椭圆相交弦长公式,得：
|AB|
=√[k^2+1]*|x1-x2|
=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
由于：
椭圆C:x^2/3+y^2=1
直线l:y=kx+b
则联立可得：
x^2/3+(kx+b)^2=1
[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0
由于：A,B为其交点,
则x1,x2为方程的两根
则由韦达定理,得：
x1+x2=-6kb/(1+3k^2)
x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)
则：
|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]
=√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}
=√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}
=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}
设：t=1/(3k^2+1) (t属于(0,1])
则：
|AB|=√[3+4t-4t^2]
=√[-4(t-1/2)^2+4]
则当t=1/2时,|AB|取最大值=2
此时k=±√3/3
则：
△AOB面积的最大值
=(1/2)|AB|最大值*d
=(1/2)*2*(√3/2)
=√3/2