已知抛物线y^=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴于点P,交抛物线于AB两点,其中点A在第一象限(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切(2)若向量FA=λ1向量AP,向量BF=λ2向量FA,λ1/λ2属于[1/4,1/2]求λ2的

Question

已知抛物线y^=2px (p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴于点P,交抛物线于AB两点,其中点A在第一象限
(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切
(2)若向量FA=λ1向量AP,向量BF=λ2向量FA,λ1/λ2属于[1/4,1/2] 求λ2的取值范围

Answer 1

（1）设A点的横坐标为Xa,以d表示各点到准线的距离 则有dA=Xa+p/2,所以AF=dA=Xa+p/2=2r,而圆心到y轴的距离dO=(Xa+Xf)/2=(Xa+p/2)/2=r,所以相切