设an=1+1\2+.+1\n是否存在n的整式g(n)使a1+a2+...+a(n-1)=g(n)(an-1)对于1的自然数n都成立

Question

设an=1+1\2+.+1\n是否存在n的整式g(n)使a1+a2+...+a(n-1)=g(n)(an-1)对于1的自然数n都成立

Answer 1

解法一：
a(1)=1
a(2)=1+1/2
a(3)=1+1/2+1/3
……
a(n-1)=1+1/2+1/3+……+1/(n-1)
将上述n-1个式子相加,可得：
a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n-1)
=(n-1)+(n-2)/2+(n-3)/3+……+[n-(n-1)]/(n-1) ----------- n-1项
=(n-1)+(n/2-1)+(n/3-1)+……+[n/(n-1)-1] ----------- n-1项
=[n+n/2+n/3+……+n/(n-1)] - (n-1)
=[n+n/2+n/3+……+n/(n-1)+n/n] - n ----------- 注意n/n=1
=n×[1+1/2+1/3+……+1/(n-1)+1/n] - n
=n×a(n) - n
=n×[a(n)-1]
所以：
g(n)=n (n∈N, n≥2)
解法二：
对等式a1+a2+...+a(n-1)=g(n)(an-1)有
当n=2时,a1=g(2)(a2-1) => g(2)=2
当n=3时,a1+a2=g(3)(a3-1) => g(3)=3
当n=4时,a1+a2+a3=g(4)(a2-1) => g(4)=4
当n=5时,a1+a2+a3+a4=g(5)(a2-1) => g(5)=5
当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5=g(6)(a2-1) => g(6)=6
用归纳法,可得：
g(n)=n (n∈N, n≥2)