桥函数法二次函数迭代许多书上都有介绍桥函数法的二次函数迭代.比如二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)令g(x)=ax^2h(x)=x-k(k为f(x)不动点)则fn(x)=h^(-1)(gn(h(x)))（*）但我看不懂,比如n=1时代入就不一定

Question

桥函数法二次函数迭代
许多书上都有介绍桥函数法的二次函数迭代.
比如二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)
令g(x)=ax^2 h(x)=x-k (k为f(x)不动点)
则fn(x)=h^(-1)(gn(h(x))) （*）
但我看不懂,比如n=1时代入就不一定成立.
还有,若要（*）式成立,则k=-(b/2a),k又要是不动点,这如何做到?
如果k=-(b/2a),则（*）式右显然与c无关,但（*）式左又与c有关,这是怎么回事?
望高手指教,谢谢.

Answer 1

实际上,楼主所说的桥函数迭代法的具体定义是
如果f(x)=h(-1)(g(h(x))),就会有fn(x)=h(-1)(gn(h(x))),其中fn,gn是f,g的n次迭代,证明可以用数学归纳法,注意到x=h(-1)(h(x))就比较容易了.
至于楼主所说问题,不是所有的二次函数的迭代都可以比较简单的表示出来.
如果f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) g(x)=ax^2 h(x)=x-k (k为f(x)不动点)
并且f(x)=h(-1)(g(h(x))),能推出f(x)的Δ=0,这时的fn(x)是可以表示的(因为ax^2的迭代比较容易计算)