设奇函数f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：（1）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1；（2）存在η∈（-1，1），使得f″（η）+f′（η）=1．

Question

设奇函数f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：
（1）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1；
（2）存在η∈（-1，1），使得f″（η）+f′（η）=1．

Answer 1

证明：（1）由于f（x）为奇函数，则f（0）=0，由于f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在ξ∈（0，1），使得f′(ξ)＝(f(1)−f(0))/(1−0)＝1
（2）由于f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数，由（1）可知存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1，且f'（-ξ）=1，
令φ（x）=f'（x）+f（x），由条件显然可知在φ（x）在[-1，1]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈（-1，1），使得(φ(1)−φ(−1))/(1−(−1))＝φ′(η)成立，φ（1）-φ（-1）=f'（1）+f（1）-f'（-1）-f（-1）=2f（1）=2，从而φ'（η）=1成立，即f''（η）+f'（η）=1