设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界．用L上的点M1，M2，…Mn-1把L分成n个小段．设第i个小段的长度为△Si•（ζi，ηi）为第i小段上的一点，i=1，2，…，n．则函数f（x，y

Question

设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界．用L上的点M₁，M₂，…M_n-1把L分成n个小段．设第i个小段的长度为△S_i•（ζ_i，η_i）为第i小段上的一点，i=1，2，…，n．则函数f（x，y）在曲线L上的对弧长的曲线积分
A．

n

λ＝1

f（ξ_i，η_i）△S_i
B．

lim

λ→0

n

λ＝1

f（ξ_i，η_i）△S_i
C．

lim

λ→0

n

λ＝1

f（ξ_i，η_i）△S_i，且极限值与L的分法无关，与（ξ_i，η_i）的取法无关
D．

lim

λ→0

n

λ＝1

f（ξ_i，η_i）△S_i，其中△S_i必须有相等的长度．其中入为△S_i的长度的最大值

Answer 1

L上的点M₁，M₂，…M_n-1把L分成n个小段，取其中一小段

Mi−1Mi

来分析．
只要这一小段很短，就可以用这小段上任一点（ζ_i，η_i）的函数值来代替这一段其它点处的函数值
从而得到这一小段构件的质量的近似值为f（ξ_i，η_i）△S_i，其中△S_i为第i个小段的长度
于是，整个曲线形构件的质量为

n

i＝1

f（ξ_i，η_i）△S_i，
用λ表示这n个弧段的最大长度，为了计算曲线形构件质量的精确值，取上式右端之和当λ→0时的极限，从而得到

lim

λ→0

n

λ＝1

f（ξ_i，η_i）△S_i=

∫

L

f（x，y）ds
故选：C．