过抛物线y^2=4x的准线与对称轴的交点做直线,交抛物线于m,n两点,问直线的斜率为多大时,以线段mn为直径的圆经过抛物线的焦点

Question

过抛物线y^2=4x的准线与对称轴的交点做直线,交抛物线于m,n两点,问直线的斜率为多大时,以线段mn为直径的圆经过抛物线的焦点

Answer 1

∵2p=4 ∴p/2=1
∴焦点为F（1,0）,准线为x=-1,准线与对称轴的交点为A(-1,0)
设过点A的直线为y=k(x+1),且交抛物线于点M、N
此方程与y^2=4x联立得 ky^2-4y+4k=0
∴y1+y2=4/k , y1y2=4
∵以MN为直径的圆经过点F
∴MF⊥NF ,又点M(y1^2/4 ,y1) N(y2^2/4 ,y2）
∴y1/(y1^2/4-1)×y2/(y2^2/4-1)=-1
整理得 (y1y1)^2+24y1y2-4(y1+y2)^2+16=0
即4^2+24×4-4(4/k)^2+16=0
解得 k=±√2/2