若抛物线X²=2y的顶点是抛物线上到点A（0,a）的距离最近的点,求a的取值范围?我不明白这句话怎么理解,越通俗越好.

Question

若抛物线X²=2y的顶点是抛物线上到点A（0,a）的距离最近的点,求a的取值范围?
我不明白这句话怎么理解,越通俗越好.

Answer 1

设P(x,y)是抛物线上任意一点
则x²=2y,且 y≥0
|PA|²=x²+(y-a)²
=2y+y²-2ay+a²
=y²-(2a-2)y+a² 其中y≥0
是关于y的二次函数,对称轴y=a-1,开口向上
由已知,在y=0时,取得最小值
∴ 对称轴y=a-1在[0,+∞）的左侧.
∴ a-1≤0
∴ a的取值范围是a≤1