在直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=310．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第

Question

在直角坐标系中，抛物线y=x²-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3√(10)．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为(8)/(5)√(5)，求这时点D的坐标．

Answer 1

（1）根据题意，画出示意图如答图所示，过点C作CE⊥x轴于点E；

∵抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3√(10)，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，
∴A（m，0），
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m；
由已知得

△＝4m2−4(n+1)＝0…(1)

(1−m)2+(n−2m+2)2＝(3√(10))2…(2)

，
由（1）得n=m²-1；（3）
把（3）代入（2），得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0，
∴（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0，
∴m²-2m+11=0（4）或m²-2m-8=0（5）；
对方程（4），
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0没有实数根；
由解方程（5），
得m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入（3），得n=3，
∴抛物线的关系式为y=x²+4x+4

（2）∵直线DB经过第一、二、四象限；
设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，
∵点O到直线DB的距离为(8)/(5)√(5)，
∴OM=(8)/(5)√(5)，
∵抛物线y=x²+4x+4与y轴交于点B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∴BM=√(OB2−OM2)＝√(42−((8)/(5)√(5))2)＝(4)/(5)√(5)；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴(OB)/(MB)＝(FO)/(MO)，
∴(OB)/((4)/(5)√(5))＝(FO)/((8)/(5)√(5))，
∴OF=2BO=8，F（8，0）；
∴直线BF的关系式为y=-(1)/(2)x+4；
∵点D既在抛物线上，又在直线BF上，
∴

y＝x2+4x+4

y＝−(1)/(2)x+4

，
解得

x1＝−(9)/(2)

y1＝(25)/(4)

，

x2＝0

y2＝4

，
∵BD为直线，
∴点D与点B不重合，
∴点D的坐标为(−(9)/(2)，(25)/(4))．