当n=1,2,.,2006时,则所有二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度之和为?

Question

当n=1,2,.,2006时,则所有二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度之和为?

Answer 1

首先引入一个公式.
二次函数y=ax^2+bx+c在x轴上截出的距离=√（b^2-4ac）/│a│即d=√△/│a│
简证：在函数y=ax^2+bx+c中,令y=0,解得x1=（-b+√△）/2a,x2=（-b-√△）/2a,│x1-x2│=√△/│a│,故结论得证.
（Ps：推广这个引理,还可以得到一个更为有用的定理,二次函数y=ax^2+bx+c在平行于x轴的直线y=m上截出的距离=√（△+4am）/│a│,证明略）
得出这个引理以后呢,这题就简单了.先不考虑n的值.二次函数y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1的图像与X轴所截得的线段长度据上式=√△/│a│
此函数中,△=[-(2n+1)]^2-4(n^2+n)=4n^2+1+4n-4n^2-4n=1
又n始终大于0,故该函数在x轴上截得的距离=1/（n^2+n）
下面带入n的值,当n=1,2,.,2006时,所有二次函数的图像与X轴所截得的线段长度之和=1/（1^2+1)+1/(2^2+2)+1/(3^2+3)+……+1/(2006^2+2006)
又n^2+n=n(n+1)
所以,线段长度和=1/(1×2）+1/（2×3）+……+1/（2006×2007）
又1/[n（n+1）]=1/n-1/（n+1）（Ps：这个公式很重要啊,虽然简单,但是不容易想起来,好多题特别是奥数中经常用到）
所以,线段长度和=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2006-1/2007
化简,=1-1/2007=2006/2007
综上,最终答案为2006/2007