由abcxyz是实数,求证(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²我们老师说可以先变为4(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(2ax+2by+2cz)²来解，我看着很像b²-4ac就不知道怎么

Question

由abcxyz是实数,求证(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²
我们老师说可以先变为4(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(2ax+2by+2cz)²来解，我看着很像b²-4ac就不知道怎么解，求教···谢了··········

Answer 1

∵(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=a²x²+b²y²+c²z²+a²y²+a²z²+b²x²+b²z²+c²x²+c²y²
(ax+by+cz)²=a²x²+b²y²+c²z²+2abxy+2acxz+2bcyz
∴(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)-(ax+by+cz)²
=(a²y²-2abxy+b²x²)+(b²z²-2bcyz+c²y²)+(c²x²-2acxz+a²z²)
=(ay-bx)²+(bz-cy)²+(cx-az)²≥0
∴(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²