要建造一个容积为定数A的长方体无盖水池,已知底面的单位面积造价是侧面单位面积造价的两倍,问应如何设计水池的尺寸,方可使它的造价最小

Question

要建造一个容积为定数A的长方体无盖水池,已知底面的单位面积造价是侧面单位面积造价的两倍,问应如何设计水池的尺寸,方可使它的造价最小

Answer 1

设 长、宽、高为x,y,z
F＝xy+2xz+2yz+μ﹙xyz-a﹚＝0
Fx＝y+2z+μyz＝0
Fy＝x+2z+μxz＝0
Fz＝2x+2y+μxy＝0
Fμ＝xyz-a＝0 解得 x＝y＝2z＝﹙2a﹚^﹙1/3﹚
即 长与宽都是高的两倍时,
表面积最小. 
[本题用初等方法更简单,xyz＝a S＝xy+2xz+2yz,注意xy×2xz×2yz＝4a²﹙常数﹚
∴当xy＝2xz＝2yz 即x＝y＝2z时 ,S最小.]