要做一个容积为250π立方米的无盖圆柱体蓄水池.已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍,问蓄水池的尺寸应该怎么样设计,才能使造价最低

Question

要做一个容积为250π立方米的无盖圆柱体蓄水池.已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍,问蓄水池的尺寸应该怎么样设计,才能使造价最低

Answer 1

设半径为R,高为H,池壁单位造价为W,则池底单位造价为2W
依题意：πR²H=250π
推出：R²H=250
推出：H＝250/R²
底面积：πR²
侧面积：2πRH=2πR(250/R²)=500π/R
总造价：Y＝2WπR²+500Wπ/R＝2Wπ(R²+250/R)
Y′＝2Wπ(2R－250/R²)
Y′＝0时,Y取得最小值.
Y′＝0时,2R－250/R²＝0
R＝5米
此时：H＝250/5²=10米