在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值为1和1/2,AP=2E,F依次是PB,PC的中点.求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.急.xiexie.

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值为1和1/2,AP=2
E,F依次是PB,PC的中点.
求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.急.xiexie.

Answer 1

令AB、CD的中点分别为M、N.
∵E、M分别是PB、AB的中点,∴EM是△PAB的中位线,∴EM∥PA,∴EM∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴AD∥BC,又M、N分别是AB、CD的中点,∴MN∥AD,∴MN∥平面PAD.
∵EM∥平面PAD、MN∥平面PAD、EM∩MN＝M,∴平面EMN∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.
∵CD⊥AD、CD⊥PA、PA∩AD＝A,∴CD⊥平面PAD,而平面EMN∥平面PAD,
∴CD⊥平面EMN,∴∠CEN＝EC与平面EMN所成的角＝EC与平面PAD所成的角.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA＝PB与平面ABCD所成的角、∠PDA＝PD与平面ABCD所成的角,
∴tan∠PBA＝1、tan∠PDA＝1/2.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB、PA⊥AD,∴tan∠PBA＝PA/AB、tan∠PDA＝PA/AD,
又tan∠PBA＝1、tan∠PDA＝1/2,∴PA/AB＝1、PA/AD＝1/2,而PA＝2,∴AB＝2、AD＝4.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝4,显然有：BM＝AB/2＝1.
∵PA⊥AB,∴PB＝√（PA^2＋AB^2）＝√（4＋4）＝2√2,∴BE＝PB/2＝√2.
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
∵BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB＝A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥BE,
∴EC＝√（BE^2＋BC^2）＝√（2＋16）＝3√2.
∵CN⊥平面EMN,∴CN⊥EN,∴EN＝√（EC^2－CN^2）＝√（18－1）＝√17.
∴sin∠CEN＝EN/EC＝√17/（3√2）＝√34/6.
∴EC与平面PAD所成角的正弦值为√34/6.