已知PD垂直平面ABCD,AD垂直DC,AD平行BC,PD:DC:BG=1:1:根号2,求(1)PB与平面PDC所成已知PD垂直平面ABCD,AD垂直DC,AD平行BC,PD：DC：BG＝1：1：根号2,求二面角D-PB-C的正切值.

Question

已知PD垂直平面ABCD,AD垂直DC,AD平行BC,PD:DC:BG=1:1:根号2,求(1)PB与平面PDC所成
已知PD垂直平面ABCD,AD垂直DC,AD平行BC,PD：DC：BG＝1：1：根号2,求二面角D-PB-C的正切值.

Answer 1

应是PD:DC:BC=1:1:√2吧?
以D为原点,DA为X轴,DC为Y轴,DP为Z轴建立空间直角坐标系,
D（0,0,0）,A（√2,0,0）,
B（√2,1,0）,C（0,1,0）,
P（0,0,1）,
设平面PDB的法向量n1(1,y,z),
向量DB（√2,1,0）,向量DP（0,0,1）,
向量n1⊥DP,n1⊥DB,n1•DP=0,n1•DB=0,
√2+y=0,y=-√2,z=0,n1=(1,- √2,0),
同理,设平面PBC的法向量n2(x,y,1), 向量PC=（0,1,-1）,
向量PB（√2,1,-1）,n2•PC=0,n2•PB=0,
y=1,x=0,n2=(0,1,1),
n1•n2=-√2,
|n1|=√3,|n2|=√2,
cos= n1•n2/(|n1|*|n2|=-√2/(√3*√2)=- √3/3,
二法向量成角为钝角,则二面角D-PB-C为arccos(√3/3),
设二面角D-PB-C平面角为θ,cosθ=√3/3,secθ=1/ cosθ=√3,
tanθ=√[(secθ)^2-1]= √2. 二面角D-PB-C的正切值为√2.