如图ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD=DC(1)求证:AC⊥PB;(2)求AD与PB所成角的正切值.

Question

如图ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD=DC(1)求证:AC⊥PB;(2)求AD与PB所成角的正切值
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Answer 1

证明：（1）
连结DB
∵PD⊥平面ABCD
又∵四边形ABCD为正方形
∴DB⊥AC
∴AC⊥PB（三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.）
（2）
求AD与PB的夹角,即求PB与BC的夹角（∵四边形ABCD是正方形∴AD∥BC）
令DC=1
∴DB=√2 =PC
PB=√3
cos∠PBC=（PB*PB+BC*BC-PC*PC）/（2*PB*BC）=（3+1-2）/（2*1*√3）=√3/3
∴sin∠PBC=√1-1/3=√6/3
∴tan∠PBC=√2