如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=根号2/2AD、...如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=根号2/2AD,若E、F分别为PC、BD的

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=根号2/2AD、...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=根号2/2AD,若E、F分别为PC、BD的中点.（1）求证：直线EF∥平面PAD；（要求空间向量法做）
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD（要求空间向量法做）

Answer 1

（1）以AD为 y 轴,AD的中点O为坐标原点,以 OF为 x 轴、OP为 z 轴建立直角坐标系；
有关点的坐标计算如下：P(0,0,a/2)、F(a/2,0,0)、E(a/2,a/4,a/4)、D(0,a/2,0)、C(a,a/2,0)；
向量EF={0,a/4,a/4},而侧立面PAD的法向量就是 向量OF{a/2,0,0}（已知PAD⊥底面ABCD,而 OP⊥AD、OF⊥OP、OF⊥AD）；
向量EF•向量OF=0*(a/2)+(a/4)*0+(a/4)*0=0,∴ EF⊥OF,从而 EF∥平面PAD；
（2）向量DC={a,0,0},与平面APD的法向量平行,DC可看作平面PAD的一条法线,故 平面PCD⊥平面PAD；