如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.（1） 求证：PB∥平面EFG（2） 求异面直线EG与BD所成角的余弦值；（3） 在线段CD上是否存在一点Q,使

Question

如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
（1）    求证：PB∥平面EFG
（2） 求异面直线EG与BD所成角的余弦值；
（3） 在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为4／5?若存在,求出CQ的值；若不存在,请说明理由.

 
 
E画的有点像B.

Answer 1

取AB为中点H,连结GH,HE,
∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,
∴GH∥AD∥EF.
∴E,F,G,H四点共面.
又H为AB中点,∴EH∥PB.
又EH∈面EFG,PB∉平面EFG,
∴PB∥面EFG.
(2)取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM∥BD,
∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角.
在Rt△MAE中,EM=根号下的（EA^2+AM^2）=根号6
同理EG=6,又GM=1/2BD=根号2
∴在Rt△MGE中,cos∠EGM,EG^2+GM^2-ME^2）/(2*EG*GM)
=根号3/6,故异面直线EG与BD所成角的余弦值为根号3/6
假设在线段CD上存在一点Q,满足题设条件,过点Q作OR⊥AB于点R,连结RE,则QR∥AD.
∵四边形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,
∴AD⊥平面PAB.
又∵E,F分别是PA,PD的中点,
∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ,∴EFQ⊥平面PAB.
过A作AT⊥ER于点T,则AT⊥面EFQ,
∴AT就是点A到平面EFQ的距离.
设CQ=x(0≤x≤2),则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,
在Rt△EAR中,AT=(AR*AE）/RE=(2-X)*1/(根号下的（2-x）^2+1^2)=4/5
解得x=2/3故存在点Q,当CQ=2/3时,点A到平面EFQ的距离为4/5