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已知平面上四个点A1(0,0),,,A4(4,0).设D是四边形A1A2A3A4及其内部的点构成的点的集合,点P是四边形对角线的交点,若集合S={P∈D||PP|≤|PAi|,i=1,2,3,4},则集合S所表示的平面区
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已知平面上四个点A1(0,0),,,A4(4,0).设D是四边形A1A2A3A4及其内部的点构成的点的集合,点P是四边形对角线的交点,若集合S={P∈D||PP|≤|PAi|,i=1,2,3,4},则集合S所表示的平面区域的面积为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
A.2
B.4
C.8
D.16
▼优质解答
答案和解析
由集合S={P|P∈D,|PP|≤|PPi|,i=1,2,3,4},则P点应位于PPi的四条垂直平分线之内,又由D是四边形A1A2A3A4及其内部的点构成的点的集合,我们易画出满足条件的图象,并判断其形状,最后根据面积公式求出求出即可.
【解析】
如图所示,AD、CD、BC、AB分别为PP1、PP2、PP3、PP4的垂直平分线,若|PP|=|PP1|,则点P在线段AD上,若|PP|≤|PP1|,则点P在线段AD的右侧.
同理,若|PP|≤|PP2|,则点P在线段CD的下方.
若|PP|≤|PP3|,则点P线段BC的左侧.
若|PP|≤|PP4|,则点P线段AB的上方.
综上可知,若|PP|≤|PPi|,i=1,2,3,4则点P在四边形ABCD中.
且A(2,0),B(,1),C(,2),D(,1),
AB=,AD=
∴S=AB×AD=×=4
故选B.
【解析】
如图所示,AD、CD、BC、AB分别为PP1、PP2、PP3、PP4的垂直平分线,若|PP|=|PP1|,则点P在线段AD上,若|PP|≤|PP1|,则点P在线段AD的右侧.
同理,若|PP|≤|PP2|,则点P在线段CD的下方.
若|PP|≤|PP3|,则点P线段BC的左侧.
若|PP|≤|PP4|,则点P线段AB的上方.
综上可知,若|PP|≤|PPi|,i=1,2,3,4则点P在四边形ABCD中.
且A(2,0),B(,1),C(,2),D(,1),
AB=,AD=
∴S=AB×AD=×=4
故选B.
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