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以知正四棱锥s—ABCD中,sA=2倍根号3,那么当该棱锥体积最大时,它的高为多少
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以知正四棱锥s—ABCD中,sA=2倍根号3,那么当该棱锥体积最大时,它的高为多少
▼优质解答
答案和解析
正四棱锥的高垂直于底面ABCD,垂足为正方形ABCD对角线的交点O
在直角三角形AOS中,高h=√(SA²-OA²)
因为SA=2√3 所以 OA=√12-h²
于是正方形ABCD的面积为 2（12-h²)
四棱锥s-ABCD的体积V=2/3h(12-h²)
对V关于h 求导,得
V'=2/3(12-h²)-4/3h²
令V'=0,则
12-h²-2h²=0
3h²=12
h²=4
因为h>0,所以 h=2
在直角三角形AOS中,高h=√(SA²-OA²)
因为SA=2√3 所以 OA=√12-h²
于是正方形ABCD的面积为 2（12-h²)
四棱锥s-ABCD的体积V=2/3h(12-h²)
对V关于h 求导,得
V'=2/3(12-h²)-4/3h²
令V'=0,则
12-h²-2h²=0
3h²=12
h²=4
因为h>0,所以 h=2
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