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如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行CD,AB垂直AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2,E和F分别是CO和PC的中点.(1)求证:PA垂直店面ABCD(2)求证:平面FBE平行平面PAD(3)求三棱锥F-BCE的体积
题目详情
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行CD,AB垂直AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2,E和F分别是CO和PC的中点.
(1)求证:PA垂直店面ABCD
(2)求证:平面FBE平行平面PAD
(3)求三棱锥F-BCE的体积
(1)求证:PA垂直店面ABCD
(2)求证:平面FBE平行平面PAD
(3)求三棱锥F-BCE的体积
▼优质解答
答案和解析
1.∵AB垂直平面PAD,AB⊥PH
∵PH是△PAD的高,∴PH⊥AD
那么,PH⊥平面ABCD (垂直于两条相交的直线=垂直于其平面)
2.既然PH⊥平面ABCD,那么PH就是整个四棱锥的高!
∵E是PB的中点,∴E点到平面ABCD的距离就是P点到平面ABCD的距离的一半!
那么三棱锥的高是1/2 (PH=1)
∵AB⊥△PAD,AB∥CD ∴CD⊥△PAD ∴CD⊥AD
那么S△BFC=1/2FC·AD=(根2)/2
三棱锥体积 V(E-BFC)=(1/3)(根2/2)(1/2)=(根2)/12
3.设PA的中点是Q,链接EQ,QD
∵E是PB的中点,所以EQ是△PAB的中位线
EQ=1/2AB EQ∥AB
∵DF=1/2AB DC∥AB (DF∈DC)
∴EQ∥DF且EQ=DF
∴四边形EQDF是平行四边形
∵AB⊥平面PAD ∴EQ⊥平面PAD ∴EQ⊥QD
所以四边形EQDF是矩形
那么,EF⊥QE
∵EQ⊥平面PAD ∴平面EQDF⊥平面PAD
那么,EF⊥平面PAD ∴EF⊥PA
∴EF⊥平面PAB
∵PH是△PAD的高,∴PH⊥AD
那么,PH⊥平面ABCD (垂直于两条相交的直线=垂直于其平面)
2.既然PH⊥平面ABCD,那么PH就是整个四棱锥的高!
∵E是PB的中点,∴E点到平面ABCD的距离就是P点到平面ABCD的距离的一半!
那么三棱锥的高是1/2 (PH=1)
∵AB⊥△PAD,AB∥CD ∴CD⊥△PAD ∴CD⊥AD
那么S△BFC=1/2FC·AD=(根2)/2
三棱锥体积 V(E-BFC)=(1/3)(根2/2)(1/2)=(根2)/12
3.设PA的中点是Q,链接EQ,QD
∵E是PB的中点,所以EQ是△PAB的中位线
EQ=1/2AB EQ∥AB
∵DF=1/2AB DC∥AB (DF∈DC)
∴EQ∥DF且EQ=DF
∴四边形EQDF是平行四边形
∵AB⊥平面PAD ∴EQ⊥平面PAD ∴EQ⊥QD
所以四边形EQDF是矩形
那么,EF⊥QE
∵EQ⊥平面PAD ∴平面EQDF⊥平面PAD
那么,EF⊥平面PAD ∴EF⊥PA
∴EF⊥平面PAB
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