如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是棱AA',BB'的中点,求A'F与D'E所成角的余弦值.

Question

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是棱AA',BB'的中点,求A'F与D'E所成角的余弦值.

Answer 1

取CC‘中点G,连结D'G、FG和EG
因为在正方形BCC'B'中,点F、G分别是BB'、CC'的中点
所以有：FG//B'C',FG=B'C'
又A'D'//B'C',A'D'=B'C'
那么：FG//A'D',FG=A'D'
所以四边形A'D'GF是平行四边形
所以：A'F//D'G
则可知∠ED'G就是A'F与D'E所成角（或其补角）
令正方体棱长为a,那么易得：D'E=D'G=(√5)a/2,EG=A'C'=√2*a
所以在△D'EG中,由余弦定理得：
cos∠ED'G=(D'E²+D'G²-EG²)/(2*D'E*D'G)
=(5a²/4 +5a²/4 - 2a²)/[2*(√5)a/2 *(√5)a/2]
=(a²/4)/(5a²/2)
=1/10
即A'F与D'E所成角的余弦值为1/10