已知双曲线2x^2-y^2=2,过点P(2,1)的直线L与双曲线C交于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程.

Question

已知双曲线2x^2-y^2=2,过点P(2,1)的直线L与双曲线C交于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹方程.

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),
则 x1+x2=2x,y1+y2=2y ,且
2x1²-y1²=2 (1)
2x2²-y2²=2 (2)
(2)-(1),得
2(x2-x1)(x1+x2)-(y2-y1)(y1+y2)=0
从而 AB的斜率 k=(y2-y1)/(x2-x1)=2(x1+x2)/(y1+y2)=2x/y
又 P,M在AB上,斜率为k= (y-1)/(x-2)
从而 (y-1)/(x-2)=2x/y
整理,得2x²-y²-4x+y=0