设an=10乘以11/3……乘到n+9/2n-1,证明数列有极限,并且求出极限.

Question

设an=10乘以11/3……乘到n+9/2n-1,证明数列有极限,并且求出极限.

Answer 1

关键是找出变化规律,这里每个人有不同心法,我的心法是看图像,我看到的是一条先变大后不断变小并无限接近0的曲线.然后是证明过程：
An/A(n-1)=(n+9)/(2n-1),这个系数在n=10时为1,在n>10时小于1,在n>=29时,系数小于三分之二.
于是得出一个估计的方法,数列最大值出现在n=10处,计算下,A9=A10=512,然后一路变小,到A29一定也小于512,此后每一项都比前一项的三分之二要小（系数小于三分之二嘛）
对于任意小的数ε>0,都可以给出数字N,取N为ln（ε/512）/ln(2/3)+29,再取个整.这样,就可以保证任意大于n>N 的An<ε
所以,An有极限,为0