有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2）,a1=2,a(n+1)=(a-1)Sn+2（n=1,2,...,2k-1),其中常数a>1 求：若a=2^(2／(2k-1)),数列{bn}满足bn=（1／n）x log2(a1a2...an）,（n=1,2,...,2k),求数列{bn}的通项公式

Question

有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2）,a1=2,a(n+1)=(a-1)Sn+2（n=1,2,...,2k-1),其中常数a>1 求：
若a=2^(2／(2k-1)),数列{bn}满足bn=（1／n）x log2(a1a2...an）,（n=1,2,...,2k),求数列{bn}的通项公式

Answer 1

当n=1时,a2=2a,a2/a1=a；
当2≤n≤2k-1时,an+1=（a-1）Sn+2,an=（a-1）Sn-1+2
∴an+1-an=（a-1）an
∴an+1/an=a
∴数列{an}是首项为2,公比为a的等比数列
∴an=2a^n-1 又a=2^[2／(2k-1)]
∴a1×a2×…an=2^na^[1+2+…+（n-1）]=2^n×a^[n(n-1) /2]=2^[n+n(n-1) /2k-1]
bn=1/n×[n+n(n-1) /2k-1=[n-1/2k-1]+1（n=1,2,...,2k）