已知a、b、m、n∈N+，{an}是首项为a，公差为b的等差数列；{bn}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a1＜b1＜a2＜b2＜a3．（1）求a的值；（2）数列{1+am}与数列{bn}的公共项，且公共项按原顺序

Question

已知a、b、m、n∈N₊，{a_n}是首项为a，公差为b的等差数列；{b_n}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）数列{1+a_m}与数列{b_n}的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列{c_n}，求{c_n}的前n项之和S_n．

Answer 1

（1）∵a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1，
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
∴由a+b＜ab，a、b∈N₊得a＞1+(a)/(b)．
∵0＜(a)/(b)＜1，∴a≥2．
又得b＞1+(b)/(a)，而(b)/(a)＞1，∴b≥3．
再由ab＜a+2b，b≥3，得a＜(2b)/(b−1)＝2(1+(1)/(b−1))≤3．
∴2≤a＜3
∴a=2．
（2）设1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．
∴3+（m-1）b=b•2^n-1，b＝(3)/(2n−1−(m−1))∈N+．
∵b≥3，∴2^n-1-（m-1）=1．∴2^n-1=m．
∴c_n=b_n=3•2^n-1．
故S_n=3（1+2++2^n-1）=3（2ⁿ-1）．